Εισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωμετρία (ΕΓ) (2 ώρες)

ΕΓl. Διακρίνουν την αναγκαιότητα της μετάβασης από την Πρακτική στη Θεωρητική Γεωμετρία.

ΕΓ2. Αποκτούν μια πρώτη αίσθηση της ιστορικής εξέλιξης και θεμελίωσης της Θεωρητικής Γεωμετρίας και των βασικών αρχών ανάπτυξης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ως αξιωματικό σύστημα.

Πρακτική και Θεωρητική Γεωμετρία.

Βασικές αρχές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ως αξιωματικό σύστημα.

Να σχεδιάσετε τρία τρίγωνα και, μετρώντας τις γωνίες τους, να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών τους. Από τις μετρήσεις αυτές μπορείτε να εξάγετε ένα συμπέρασμα για το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου; Μπορείτε να διαπιστώσετε κάποια βασική αδυναμία στη διαδικασία της μέτρησης;

Βασικά Γεωμετρικά Σχήματα (Σχ) (5 ώρες)

Σχl. Αντιλαμβάνονται τις γεωμετρικές έννοιες σημείο, ευθεία και επίπεδο ως πρωταρχικές και αναγνωρίζουν τις ιδιότητες και τις παραδοχές που τις διέπουν.

Σχ2. Αναγνωρίζουν τα βασικά χαρακτηριστικά, τις σχέσεις και τις πράξεις ευθύγραμμων τμημάτων, γωνιών και τόξων μέσω των αντίστοιχων ορισμών.

Σχ3. Διερευνούν και διατυπώνουν βασικές ιδιότητες των ευθυγράμμων τμημάτων, γωνιών και τόξων.

Σχ4. Αποδεικνύουν βασικές γεωμετρικές προτάσεις χρησιμοποιώντας διάφορες αποδεικτικές μεθόδους. Ελέγχουν την ορθότητα δεδομένων συλλογισμών

Σχ5. Διατυπώνουν το αντίστροφο πρότασης και διερευνούν την ισχύ του.

Σχ6. Συνδέουν χαρακτηριστικά και διαδικασίες στα βασικά γεωμετρικά σχήματα (ευθύγραμμο τμήμα, γωνία, τόξο) με στόχο να διακρίνουν και να αναπτύσσουν κοινές στρατηγικές απόδειξης σχετικών προτάσεων.

Πρωταρχικές έννοιες και παραδοχές

Ευθύγραμμο τμήμα, Γωνία, Κύκλος­ Τόξο.
(Χαρακτηριστικά, Ορισμοί, Συγκρίσεις, Πράξεις, Βασικά θεωρήματα).

Να σχεδιάσετε δυο γωνίες:

α) μόνο με κοινή κορυφή,

β) μόνο με κοινή πλευρά

γ) με κοινή κορυφή, κοινήπλευρά και άλλα κοινά σημεία,

δ) με κοινή πλευρά, κοινή κορυφή και κανένα άλλο κοινό σημείο.

Επιδιώκουμε οι μαθητές να κάνουν εικασίες για ιδιότητες των γωνιών και να τις ελέγξουν αποδεικτικά
Μια δραστηριότητα που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί είναι η Δ.l

Παραδείγματα δραστηριοτήτων είναι οι Δ.l, Δ.2 και Δ.3

Παραδείγματα δραστηριοτήτων είναι οι Δ.l και Δ.2

Κοινή διαπραγμάτευση ασκήσεων με μέσο ευθύγραμμου τμήματος, διχοτόμο γωνίας, μέσο τόξου.

Μια δραστηριότητα που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί είναι η Δ.4

Τρίγωνα (τ) (19 ώρες)

Tl. Ταξινομούν τα τρίγωνα με βάση τις σχέσεις των πλευρών και το είδος των γωνιών του, αναγνωρίζουν τα δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου (διάμεσος, διχοτόμος ύψος) με βάση τους αντίστοιχους ορισμούς, τα σχεδιάζουν και τα συμβολίζουν.

Τ2. Διακρίνουν πότε σχέσεις μεταξύ βασικών στοιχείων τριγώνων απότελούν κριτήριο ισότητας των τριγώνων. Αποδεικνύουν κριτήρια ισότητας τριγώνων καθώς και αυτά που αφορούν στα ορθογώνια τρίγωνα. Χρησιμοποιούν τα κριτήρια ισότητας τριγώνων για να αποδεικνύουν ισότητες τριγώνων, ευθυγράμμων τμημάτων και γωνιών.

Τ3. Διερευνούν (χρησιμοποιώντας και λογισμικά δυναμικής γεωμετρίας), προσδιορίζουν και αποδεικνύουν σε ποιες γραμμές ανήκουν σημεία που ικανοποιούν συγκεκριμένες γεωμετρικές ιδιότητες. Αναγνωρίζουν τον κύκλο, τη μεσοκάθετο τμήματος και τη διχοτόμο γωνίας ως γεωμετρικούς τόπους.

Τ4. Διερευνούν, προσδιορίζουν και αποδεικνύουν βασικές ανισοτικές σχέσεις στοιχείων του τριγώνου, με ιδιαίτερη έμφαση στην τριγωνική ανισότητα. Εφαρμόζουν τις σχέσεις αυτές στην επίλυση προβλημάτων.

Τ5. Προσδιορίζουν και αιτιολογούν τιςσχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου, καθώς και τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων.

Τ6. Πραγματοποιούν απλές γεωμετρικές κατασκευές.

Είδη και στοιχεία τριγώνου.
(1 ώρα)

Γενικά κριτήρια ισότητας τριγώνων και κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.
(6 ώρες)

Βασικοί γεωμετρικοί τόποι (κύκλος, μεσοκάθετος, διχοτόμος).
(2 ώρες)

Ανισοτικές σχέσεις στο τρίγωνο-
Κάθετα και πλάγια τμήματα σε ευθεία.
(4 ώρες)

Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου
-Σχετικές θέσεις κύκλων.
(3ώρες)

Γεωμετρικές κατασκευές.
(3ώρες)

Να διερευνήσετε τη θέση των υψών σε διάφορα είδη τριγώνου. Να σχεδιάσετε με γνώμονα τα ύψη σε αμβλυγώνιο τρίγωνο.
(Η διαπραγμάτευση του πρώτου μέρους της δραστηριότητας σε περιβάλλον δυναμικής γεωμετρίας μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές.)

Παραδείγματα δραστηριοτήτων είναι οι Δ.5, Δ.6 και Δ.7

Παραδείγματαδ ραστηριοτήτων είναι οι Δ.8, Δ.9 και Δ.l0

Παραδείγματα δραστηριοτήτων είναι οι Δ.ll, Δ.12 και Δ.13

Παραδείγματα δραστηριοτήτων είναι οι Δ.14 και Δ.15

Παράλληλες ευθείες (ΠΕ) (10 ώρες)

ΠΕl. Διερευνούν, προσδιορίζουν και αποδεικνύουν κριτήρια παραλληλίας δύο ευθειών μέσω των σχέσεων γωνιών που σχηματίζουν αυτές με μια τέμνουσα.
Αποκτούν μια πρώτη αίσθηση του ρόλου του «αιτήματος παραλληλίας» στην ιστορική εξέλιξη και τη φύση της Γεωμετρίας. Αποδεικνύουν και χρησιμοποιούν βασικές ιδιότητες των παραλλήλων.

ΠΕ2. Διερευνούν την ύπαρξη και κατασκευάζουν γεωμετρικά τον περιγεγραμμένο και τον εγγεγραμμένο κύκλο τριγώνου.

ΠΕ3. Αποδεικνύουν και χρησιμοποιούν στην επίλυση προβλημάτων την πρόταση για το άθροισμα γωνιών τριγώνου.

ΠΕ4. Βρίσκουν το άθροισμα των γωνιών κυρτού τετραπλεύρου, πενταγώνου και γενικεύοντας το συλλογισμό βρίσκουν το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου.

Κριτήριο παραλληλίας ευθειών-αίτημα παραλληλίας και ιδιότητες παραλλήλων.
(4ώρες)

Περιγεγραμμένος και εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου.
(2ώρες)

Άθροισμα γωνιών τριγώνου.
(3ώρες)

Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου.
(1ώρα)

Ο καθηγητής θα μπορούσε να προκαλέσει μια συζήτηση με τους μαθητές σχετικά με τη σημασία του «αιτήματος παραλληλίας».
Παράδειγμα μιας τέτοιας προσέγγισης, είναι η Δ.16.

Παράδειγμα δραστηριότητας είναι η Δ.17

Θεωρήστε τρίγωνο ΑΒΓκαι μεταφέρετε (με κανόνα και διαβήτη) τις γωνίες Α και Β του τριγώνου ώστε οι γωνίες Α, Β, Γ να γίνουν διαδοχικές. Τι παρατηρείτε για το άθροισμα τους;
Μπορείτε να αιτιολογήσετε αποδεικτικά την παρατήρησή σας;

Να σχεδιάσετε ένα κυρτό πολύγωνο, για παράδειγμα, τετράπλευρο, πεντάγωνο ή εξάγωνο και να υπολογίσετε το πλήθος των τριγώνων που σχηματίζονται αν ενώσουμε μια κορυφή του πολυγώνου με κάθε μια από τις μη γειτονικές κορυφές της. Να εξετάσετε τι συμβαίνει στην περίπτωση του ν-γώνου. Πόσα είναι τότε τα αντίστοιχα τρίγωνα;
Να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών του τετραπλεύρου, πενταγώνου, εξαγώνου, ν- γώνου.

Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια (Πτ) (17 ώρες)

ΠΤl. Αναγνωρίζουν παραλληλόγραμμα με βάση το νορισμό καιτα κριτήρια. Χρησιμοποιούν τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου στην επίλυση προβλημάτων.

ΠΤ2. Αναγνωρίζουν τα είδη των παραλληλογράμμων (ορθογώνιο, ρόμβος, τετράγωνο) με βάση τον ορισμό τους και τα αντίστοιχα κριτήρια. Χρησιμοποιούν τις ιδιότητες τους στην επίλυση προβλημάτων.

ΠΤ3. Διερευνούν, προσδιορίζουν και αποδεικνύουν ιδιότητες στα τρίγωνα χρησιμοποιώντας ιδιότητες των παραλληλογράμμων. Χρησιμοποιούν αυτές τις ιδιότητες στην επίλυση προβλημάτων.

ΠΤ4. Αναγνωρίζουν τραπέζια καιι σοσκελή τραπέζια.
Διερευνούν και αποδεικνύουν ιδιότητες των τραπεζίων και ισοσκελών τραπεζίων και τις χρησιμοποιούν στην επίλυση προβλημάτων.

Παραλληλόγραμμο
(3 ώρες)

Είδη παραλληλογράμμων
(Ορθογώνιο- Ρόμβος- Τετράγωνο).
(4 ώρες)

Εφαρμογές των παραλληλογράμμων
(7 ώρες)

Τραπέζια
(3 ώρες)

Παραδείγματα δραστηριοτήτων είναι οι Δ.18 καιΔ.19

Παραδείγματα δραστηριοτήτων είναι οι Δ.20, Δ.21 και Δ.22

Δίνονται δυο ευθύγραμμα τμήματα, το ένα διπλάσιο του άλλου. Προσπαθήστε να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ του οποίου η μεγαλύτερη πλευρά ΒΓ ισούται με το μεγαλύτερο από τα δοθέντα τμήματα και η διάμεσος ΑΜ ισούται με το μικρότερο από τα δοθέντα τμήματα. Τι τρίγωνο δημιουργήθηκε; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.
(Η διαπραγμάτευση της δραστηριότητας σε περιβάλλον δυναμικής γεωμετρίας μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές.)

Θεωρήστε τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ. Αν Κ, Λ, Μ είναι τα μέσα των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα,
α) Να δείξετε ότι αν ΑΒ διαφορετική της ΑΓ και η γωνία Β δεν είναι ορθή τότε το τετράπλευρο ΚΛΜΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο.
β) Να εξετάσετε το είδος του σχήματος με κορυφές ΚΛΜΔ, αν i)ΑΒ=ΑΓ, ii) η γωνία Β είναι ορθή.

Εγγεγραμμένα σχήματα (Εγ) (6 ώρες)

Εγl. Διερευνούν και αποδεικνύουν τις σχέσεις εγγεγραμμένης και αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας καθώς και τη σχέση τους με τη γωνία χορδής και εφαπτομένης.
Χρησιμοποιούν τις παραπάνω σχέσεις στην επίλυση προβλημάτων.

Εγ2. Διερευνούν, προσδιορίζουν και αποδεικνύουν βασικές ιδιότητες των εγγεγραμμένων και τα κριτήρια εγγραψιμότητας τετραπλεύρων. Χρησιμοποιούν τις σχετικές προτάσεις στην επίλυση προβλημάτων.

Σχέση εγγεγραμμένης- επίκεντρης και γωνίας χορδής και εφαπτομένης
(3 ώρες)

Εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα.
(3 ώρες)

Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο και Μ σημείο του κυρτού τόξου ΒΓ. Να συγκρίνετε το τμήμα ΜΑ με το άθροισμα ΜΒ+ΜΓ, αν:
α) το Μ είναι κάποιο από τα άκρα του τόξου ΒΓ
β) το Μ είναι το μέσο του τόξου ΒΓ
γ) το Μ είναι τυχαίο σημείο του τόξου ΒΓ
(Η διαπραγμάτευση της δραστηριότητας σε περιβάλλον δυναμικής γεωμετρίας μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές.)

Παράδειγμα δραστηριότητας είναι η Δ.23